.. _sec_naive_bayes:

Naif (Saf) Bayes
================


Önceki bölümler boyunca, olasılık teorisi ve rastgele değişkenler
hakkında bilgi edindik. Bu teoriyi uygulamaya koymak için, *naif Bayes*
sınıflandırıcısını tanıtalım. Bu, rakamların sınıflandırmasını yapmamıza
izin vermek için olasılık temellerinden başka hiçbir şey kullanmaz.

Öğrenme tamamen varsayımlarda bulunmakla ilgilidir. Daha önce hiç
görmediğimiz yeni bir veri örneğini sınıflandırmak istiyorsak, hangi
veri örneklerinin birbirine benzer olduğuna dair bazı varsayımlar
yapmalıyız. Popüler ve oldukça net bir algoritma olan naif Bayes
sınıflandırıcı, hesaplamayı basitleştirmek için tüm özniteliklerin
birbirinden bağımsız olduğunu varsayar. Bu bölümde, imgelerdeki
karakterleri tanımak için bu modeli uygulayacağız.



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-1-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-1-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-1-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a></div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-1-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    %matplotlib inline
    import math
    from d2l import mxnet as d2l
    from mxnet import gluon, np, npx
    
    npx.set_np()
    d2l.use_svg_display()



.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-1-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    %matplotlib inline
    import math
    import torch
    import torchvision
    from d2l import torch as d2l
    
    d2l.use_svg_display()



.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-1-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    %matplotlib inline
    import math
    import tensorflow as tf
    from d2l import tensorflow as d2l
    
    d2l.use_svg_display()



.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     </div>

Optik Karakter Tanıma
---------------------

MNIST :cite:`LeCun.Bottou.Bengio.ea.1998`, yaygın olarak kullanılan
veri kümelerinden biridir. Eğitim için 60.000 imge ve geçerleme için
10.000 imge içerir. Her imge, 0'dan 9'a kadar el yazısıyla yazılmış bir
rakam içerir. Görev, her imgeyi karşılık gelen rakama sınıflandırmaktır.

Gluon, veri kümesini İnternet'ten otomatik olarak almak için
``data.vision`` modülünde bir ``MNIST`` sınıfı sağlar. Daha sonra, Gluon
hali-hazırda indirilmiş yerel kopyayı kullanacaktır. ``train``
parametresinin değerini sırasıyla ``True`` veya ``False`` olarak
ayarlayarak eğitim kümesini mi yoksa test kümesini mi talep ettiğimizi
belirtiriz. Her resim, hem genişliği hem de yüksekliği :math:`28` olan
ve (:math:`28`, :math:`28`, :math:`1`) şekilli gri tonlamalı bir
resimdir. Son kanal boyutunu kaldırmak için özelleştirilmiş bir dönüşüm
kullanıyoruz. Ek olarak, veri kümesi her pikseli işaretsiz :math:`8`
bitlik bir tamsayı ile temsil eder. Problemi basitleştirmek için bunları
ikili öznitelikler halinde nicelendiriyoruz.



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-3-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-3-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-3-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a></div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-3-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    def transform(data, label):
        return np.floor(data.astype('float32') / 128).squeeze(axis=-1), label
    
    mnist_train = gluon.data.vision.MNIST(train=True, transform=transform)
    mnist_test = gluon.data.vision.MNIST(train=False, transform=transform)



.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-3-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    data_transform = torchvision.transforms.Compose([
        torchvision.transforms.ToTensor(),
        lambda x: torch.floor(x * 255 / 128).squeeze(dim=0)
    ])
    
    mnist_train = torchvision.datasets.MNIST(
        root='./temp', train=True, transform=data_transform, download=True)
    mnist_test = torchvision.datasets.MNIST(
        root='./temp', train=False, transform=data_transform, download=True)



.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-3-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    ((train_images, train_labels), (
        test_images, test_labels)) = tf.keras.datasets.mnist.load_data()
    
    # MNIST'in orijinal piksel değerleri 0-255 arasındadır (rakamlar uint8 olarak depolandığından).
    # Bu bölüm için (orijinal imgede) 128'den büyük piksel değerleri 1'e,
    # 128'den küçük değerler 0'a dönüştürülür. Nedeni için bölüm 18.9.2 ve 18.9.3'e bakın.
    train_images = tf.floor(tf.constant(train_images / 128, dtype = tf.float32))
    test_images = tf.floor(tf.constant(test_images / 128, dtype = tf.float32))
    
    train_labels = tf.constant(train_labels, dtype = tf.int32)
    test_labels = tf.constant(test_labels, dtype = tf.int32)



.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     </div>

İmgeyi ve ilgili etiketi içeren belirli bir örneğe erişebiliriz.



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-5-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-5-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-5-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a></div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-5-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    image, label = mnist_train[2]
    image.shape, label




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    ((28, 28), array(4, dtype=int32))





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-5-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    image, label = mnist_train[2]
    image.shape, label




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    (torch.Size([28, 28]), 4)





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-5-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    image, label = train_images[2], train_labels[2]
    image.shape, label.numpy()




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    (TensorShape([28, 28]), 4)





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     </div>

Burada ``image`` değişkeninde saklanan örneğimiz, yüksekliği ve
genişliği :math:`28` piksel olan bir imgeye karşılık gelir.



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-7-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-7-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-7-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a></div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-7-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    image.shape, image.dtype




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    ((28, 28), dtype('float32'))





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-7-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    image.shape, image.dtype




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    (torch.Size([28, 28]), torch.float32)





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-7-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    image.shape, image.dtype




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    (TensorShape([28, 28]), tf.float32)





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     </div>

Kodumuz her imgenin etiketini sayıl olarak depolar. Türü :math:`32`
bitlik bir tamsayıdır.



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-9-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-9-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-9-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a></div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-9-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    label, type(label), label.dtype




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    (array(4, dtype=int32), mxnet.numpy.ndarray, dtype('int32'))





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-9-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    label, type(label)




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    (4, int)





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-9-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    label.numpy(), label.dtype




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    (4, tf.int32)





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     </div>

Aynı anda birden fazla örneğe de erişebiliriz.



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-11-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-11-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-11-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a></div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-11-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    images, labels = mnist_train[10:38]
    images.shape, labels.shape




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    ((28, 28, 28), (28,))





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-11-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    images = torch.stack([mnist_train[i][0] for i in range(10, 38)], dim=0)
    labels = torch.tensor([mnist_train[i][1] for i in range(10, 38)])
    images.shape, labels.shape




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    (torch.Size([28, 28, 28]), torch.Size([28]))





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-11-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    images = tf.stack([train_images[i] for i in range(10, 38)], axis=0)
    labels = tf.constant([train_labels[i].numpy() for i in range(10, 38)])
    images.shape, labels.shape




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    (TensorShape([28, 28, 28]), TensorShape([28]))





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     </div>

Bu örnekleri görselleştirelim.



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-13-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-13-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-13-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a></div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-13-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    d2l.show_images(images, 2, 9);



.. figure:: output_naive-bayes_6e475d_75_0.svg




.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-13-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    d2l.show_images(images, 2, 9);



.. figure:: output_naive-bayes_6e475d_78_0.svg




.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-13-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    d2l.show_images(images, 2, 9);



.. figure:: output_naive-bayes_6e475d_81_0.svg




.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     </div>

Sınıflandırma için Olasılık Modeli
----------------------------------

Bir sınıflandırma görevinde, bir örneği bir kategoriye eşleriz. Burada
bir örnek gri tonlamalı :math:`28\times 28` imge ve kategori bir
rakamdır. (Daha ayrıntılı bir açıklama için bakınız
:numref:`sec_softmax`.) Sınıflandırma görevini ifade etmenin doğal bir
yolu, olasılık sorusudur: Özellikler (yani, imge pikselleri)
verildiğinde en olası etiket nedir? :math:`\mathbf x\in\mathbb R^d` ile
örneğin özniteliklerini ve :math:`y\in\mathbb R` ile etiketini
belirtiriz. Burada öznitelikler, :math:`2` boyutlu bir imgeyi
:math:`d = 28 ^ 2 = 784` büyüklüğünde bir vektöre yeniden
şekillendirebileceğimiz imge pikselleri ve etiketler rakamlardır.
Öznitelikleri verilen etiketin olasılığı :math:`p(y \mid \mathbf{x})`
şeklindedir. Örneğimizde :math:`y=0, \ldots, 9` için
:math:`p(y \mid \mathbf{x})` olan bu olasılıkları hesaplayabilirsek,
sınıflandırıcı aşağıda verilen ifade ile tahminini, :math:`\hat{y}`,
yapacaktır:

.. math:: \hat{y} = \mathrm{argmax} \> p(y  \mid  \mathbf{x}).

Maalesef bu, her :math:`\mathbf{x} = x_1, ..., x_d` değeri için
:math:`p(y \mid \mathbf{x})`'yi tahmin etmemizi gerektirir. Her
özniteliğin :math:`2` değerden birini alabileceğini düşünün. Örneğin,
:math:`x_1 = 1` özniteliği, elma kelimesinin belirli bir belgede
göründüğünü ve :math:`x_1 = 0` görünmediğini belirtebilir. Eğer
:math:`30` tane bu tür ikili özniteliğe sahip olsaydık, bu
:math:`\mathbf{x}` girdi vektörünün :math:`2^{30}` (1 milyardan fazla!)
olası değerlerinden herhangi birini sınıflandırmaya hazırlıklı olmamız
gerektiği anlamına gelirdi.

Dahası, öğrenme nerede? İlgili etiketi tahmin etmek için her bir olası
örneği görmemiz gerekiyorsa, o zaman gerçekten bir model öğrenmiyoruz,
sadece veri kümesini ezberliyoruz.

Naif Bayes Sınıflandırıcı
-------------------------

Neyse ki, koşullu bağımsızlık hakkında bazı varsayımlar yaparak, bazı
tümevarımsal önyargılar sunabilir ve nispeten mütevazı bir eğitim
örnekleri seçiminden genelleme yapabilen bir model oluşturabiliriz.
Başlamak için, sınıflandırıcıyı şu şekilde ifade etmede Bayes teoremini
kullanalım:

.. math:: \hat{y} = \mathrm{argmax}_y \> p(y  \mid  \mathbf{x}) = \mathrm{argmax}_y \> \frac{p( \mathbf{x}  \mid  y) p(y)}{p(\mathbf{x})}.

Paydanın normalleştirme teriminin :math:`p(\mathbf{x})` olduğunu ve
:math:`y` etiketinin değerine bağlı olmadığını unutmayın. Sonuç olarak,
sadece payı farklı :math:`y` değerlerinde karşılaştırken endişelenmemiz
gerekiyor. Paydanın hesaplanmasının zorlu olduğu ortaya çıksa bile, payı
değerlendirebildiğimiz sürece onu görmezden gelerek kurtulabilirdik.
Neyse ki, normalleştirme sabitini kurtarmak istesek, bunu da
yapabilirdik. Normalleştirme terimini
:math:`\sum_y p(y \mid \mathbf{x}) = 1` olduğundan her zaman
kurtarabiliriz.

Şimdi :math:`p( \mathbf{x} \mid y)` üzerine odaklanalım. Zincir olasılık
kuralını kullanarak :math:`p( \mathbf{x} \mid y)` terimini şu şekilde
ifade edebiliriz:

.. math:: p(x_1  \mid y) \cdot p(x_2  \mid  x_1, y) \cdot ... \cdot p( x_d  \mid  x_1, ..., x_{d-1}, y).

Tek başına bu ifade bizi daha ileriye götürmez. Yine de kabaca
:math:`2^d` tane parametreyi tahmin etmeliyiz. Bununla birlikte,
*etiketi verildiğinde özniteliklerin koşullu olarak birbirinden bağımsız
olduğunu varsayarsak*, aniden çok daha iyi durumda oluruz, çünkü bu
terim :math:`\prod_i p(x_i \mid y)`'a sadeleşerek bize şu tahminciyi
verir:

.. math:: \hat{y} = \mathrm{argmax}_y \> \prod_{i=1}^d p(x_i  \mid  y) p(y).

Her :math:`i` ve :math:`y` için :math:`p(x_i=1 \mid y)` tahmin edebilir
ve değerini :math:`P_{xy}[i, y]` olarak kaydedebilirsek, burada
:math:`P_{xy}` :math:`n` sınıf sayısı ve :math:`y\in\{1, \ldots, n\}`
olan bir :math:`d\times n` matrisidir, o zaman bunu
:math:`p(x_i = 0 \mid y)`'i tahmin etmek için de kullanabiliriz, yani

.. math::

    
   p(x_i = t_i \mid y) = 
   \begin{cases}
       P_{xy}[i, y] & \text{öyle ki } t_i=1 ;\\
       1 - P_{xy}[i, y] & \text{öyle ki } t_i = 0 .
   \end{cases}

Ayrıca, her :math:`y` için :math:`p(y)` tahmininde bulunur ve :math:`n`
uzunluğunda bir :math:`P_y` vektörü ile, :math:`P_y[y]`'a kaydederiz.
Ardından, herhangi bir yeni örnek
:math:`\mathbf t = (t_1, t_2, \ldots, t_d)` için şunu hesaplayabiliriz;

.. math:: \begin{aligned}\hat{y} &= \mathrm{argmax}_ y \ p(y)\prod_{i=1}^d   p(x_t = t_i \mid y) \\ &= \mathrm{argmax}_y \ P_y[y]\prod_{i=1}^d \ P_{xy}[i, y]^{t_i}\, \left(1 - P_{xy}[i, y]\right)^{1-t_i}\end{aligned}
   :label: eq_naive_bayes_estimation

üstelik herhangi bir :math:`y` için. Dolayısıyla, koşullu bağımsızlık
varsayımımız, modelimizin karmaşıklığını öznitelik sayısına bağlı
:math:`\mathcal{O}(2^dn)` üstel bir bağımlılıktan
:math:`\mathcal{O}(dn)` olan doğrusal bir bağımlılığa almıştır.

Eğitim
------

Şimdi sorun, :math:`P_{xy}` ve :math:`P_y`'yi bilmiyor olmamızdır. Bu
nedenle, önce bazı eğitim verileri verildiğinde bu değerleri tahmin
etmemiz gerekiyor. Bu, modeli *eğitmektir*. :math:`P_y`'yi tahmin etmek
çok zor değil. Sadece :math:`10` sınıfla uğraştığımız için, her rakam
için görülme sayısını, :math:`n_y`, sayabilir ve bunu toplam veri
miktarına :math:`n` bölebiliriz. Örneğin, 8 rakamı :math:`n_8 = 5.800`
kez ortaya çıkarsa ve toplam :math:`n = 60.000` imgemiz varsa, olasılık
tahminimiz :math:`p(y=8) = 0.0967` olur.



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-15-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-15-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-15-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a></div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-15-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    X, Y = mnist_train[:]  # Tüm eğitim örnekleri
    
    n_y = np.zeros((10))
    for y in range(10):
        n_y[y] = (Y == y).sum()
    P_y = n_y / n_y.sum()
    P_y




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    array([0.09871667, 0.11236667, 0.0993    , 0.10218333, 0.09736667,
           0.09035   , 0.09863333, 0.10441667, 0.09751666, 0.09915   ])





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-15-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    X = torch.stack([mnist_train[i][0] for i in range(len(mnist_train))], dim=0)
    Y = torch.tensor([mnist_train[i][1] for i in range(len(mnist_train))])
    
    n_y = torch.zeros(10)
    for y in range(10):
        n_y[y] = (Y == y).sum()
    P_y = n_y / n_y.sum()
    P_y




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    tensor([0.0987, 0.1124, 0.0993, 0.1022, 0.0974, 0.0904, 0.0986, 0.1044, 0.0975,
            0.0992])





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-15-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    X = train_images
    Y = train_labels
    
    n_y = tf.Variable(tf.zeros(10))
    for y in range(10):
        n_y[y].assign(tf.reduce_sum(tf.cast(Y == y, tf.float32)))
    P_y = n_y / tf.reduce_sum(n_y)
    P_y




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    <tf.Tensor: shape=(10,), dtype=float32, numpy=
    array([0.09871667, 0.11236667, 0.0993    , 0.10218333, 0.09736667,
           0.09035   , 0.09863333, 0.10441667, 0.09751666, 0.09915   ],
          dtype=float32)>





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     </div>

Şimdi biraz daha zor şeylere, :math:`P_{xy}`'ye, geçelim. Siyah beyaz
imgeler seçtiğimiz için, :math:`p(x_i \mid y)`, :math:`i` pikselinin
:math:`y` sınıfı için açık olma olasılığını gösterir. Tıpkı daha önce
olduğu gibi, bir olayın meydana geldiği :math:`n_{iy}` sayısını
sayabilmemiz ve bunu :math:`y`'nin toplam oluş sayısına bölebilmemiz
gibi, yani :math:`n_y`. Ancak biraz rahatsız edici bir şey var: Belirli
pikseller asla siyah olmayabilir (örneğin, iyi kırpılmış imgelerde köşe
pikselleri her zaman beyaz olabilir). İstatistikçilerin bu sorunla baş
etmeleri için uygun bir yol, tüm oluşumlara sözde sayımlar eklemektir.
Bu nedenle, :math:`n_{iy}` yerine :math:`n_{iy} + 1` ve :math:`n_y`
yerine :math:`n_{y} + 1` kullanıyoruz. Bu aynı zamanda *Laplace
Düzleştirme (Smoothing)* olarak da adlandırılır. Geçici görünebilir,
ancak Bayesci bir bakış açısından iyi motive edilmiş olabilir.



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-17-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-17-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-17-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a></div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-17-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    n_x = np.zeros((10, 28, 28))
    for y in range(10):
        n_x[y] = np.array(X.asnumpy()[Y.asnumpy() == y].sum(axis=0))
    P_xy = (n_x + 1) / (n_y + 1).reshape(10, 1, 1)
    
    d2l.show_images(P_xy, 2, 5);



.. figure:: output_naive-bayes_6e475d_99_0.svg




.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-17-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    n_x = torch.zeros((10, 28, 28))
    for y in range(10):
        n_x[y] = torch.tensor(X.numpy()[Y.numpy() == y].sum(axis=0))
    P_xy = (n_x + 1) / (n_y + 1).reshape(10, 1, 1)
    
    d2l.show_images(P_xy, 2, 5);



.. figure:: output_naive-bayes_6e475d_102_0.svg




.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-17-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    n_x = tf.Variable(tf.zeros((10, 28, 28)))
    for y in range(10):
        n_x[y].assign(tf.cast(tf.reduce_sum(
            X.numpy()[Y.numpy() == y], axis=0), tf.float32))
    P_xy = (n_x + 1) / tf.reshape((n_y + 1), (10, 1, 1))
    
    d2l.show_images(P_xy, 2, 5);



.. figure:: output_naive-bayes_6e475d_105_0.svg




.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     </div>

Bu :math:`10 \times 28 \times 28` olasılıkları görselleştirerek (her
sınıf için her piksel için) ortalama görünümlü rakamlar elde edebiliriz.

Şimdi yeni bir imgeyi tahmin etmek için
:eq:`eq_naive_bayes_estimation` denklemini kullanabiliriz.
:math:`\mathbf x` verildiğinde, aşağıdaki işlevler her :math:`y` için
:math:`p(\mathbf x \mid y)p(y)`'yi hesaplar.



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-19-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-19-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-19-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a></div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-19-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    def bayes_pred(x):
        x = np.expand_dims(x, axis=0)  # (28, 28) -> (1, 28, 28)
        p_xy = P_xy * x + (1 - P_xy)*(1 - x)
        p_xy = p_xy.reshape(10, -1).prod(axis=1)  # p(x|y)
        return np.array(p_xy) * P_y
    
    image, label = mnist_test[0]
    bayes_pred(image)




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    array([0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.])





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-19-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    def bayes_pred(x):
        x = x.unsqueeze(0)  # (28, 28) -> (1, 28, 28)
        p_xy = P_xy * x + (1 - P_xy)*(1 - x)
        p_xy = p_xy.reshape(10, -1).prod(dim=1)  # p(x|y)
        return p_xy * P_y
    
    image, label = mnist_test[0]
    bayes_pred(image)




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    tensor([0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.])





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-19-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    def bayes_pred(x):
        x = tf.expand_dims(x, axis=0)  # (28, 28) -> (1, 28, 28)
        p_xy = P_xy * x + (1 - P_xy)*(1 - x)
        p_xy = tf.math.reduce_prod(tf.reshape(p_xy, (10, -1)), axis=1)  # p(x|y)
        return p_xy * P_y
    
    image, label = train_images[0], train_labels[0]
    bayes_pred(image)




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    <tf.Tensor: shape=(10,), dtype=float32, numpy=array([0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.], dtype=float32)>





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     </div>

Bu korkunç bir şekilde yanlış gitti! Nedenini bulmak için piksel başına
olasılıklara bakalım. Bunlar tipik :math:`0.001` ile :math:`1`
arasındaki sayılardır. :math:`784` tanesini çarpıyoruz. Bu noktada, bu
sayıları bir bilgisayarda sabit bir aralıkla hesapladığımızı belirtmekte
fayda var, dolayısıyla bu kuvvet için de geçerli. Olan şu ki, *sayısal
küçümenlik (underflow)* yaşıyoruz, yani tüm küçük sayıları çarpmak,
sıfıra yuvarlanana kadar daha da küçük değerlere yol açar. Bunu teorik
bir mesele olarak :numref:\`sec\_maximum\_likelihood içinde tartıştık,
ancak burada pratikteki bir vaka olarak açıkça görüyoruz.

O bölümde tartışıldığı gibi, bunu :math:`\log a b = \log a + \log b`
gerçeğini kullanarak, yani logaritma toplamaya geçerek düzeltiriz. Hem
:math:`a` hem de :math:`b` küçük sayılar olsa bile, logaritma değerleri
uygun bir aralıkta olacaktır.



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-21-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-21-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-21-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a></div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-21-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    a = 0.1
    print('underflow:', a**784)
    print('logarithm is normal:', 784*math.log(a))


.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    underflow: 0.0
    logarithm is normal: -1805.2267129073316




.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-21-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    a = 0.1
    print('underflow:', a**784)
    print('logarithm is normal:', 784*math.log(a))


.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    underflow: 0.0
    logarithm is normal: -1805.2267129073316




.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-21-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    a = 0.1
    print('underflow:', a**784)
    print('logarithm is normal:', 784*tf.math.log(a).numpy())


.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    underflow: 0.0
    logarithm is normal: -1805.2267379760742




.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     </div>

Logaritma artan bir fonksiyon olduğundan,
:eq:`eq_naive_bayes_estimation` denklemini şu şekilde yeniden
yazabiliriz:

.. math::  \hat{y} = \mathrm{argmax}_y \ \log P_y[y] + \sum_{i=1}^d \Big[t_i\log P_{xy}[x_i, y] + (1-t_i) \log (1 - P_{xy}[x_i, y]) \Big].

Aşağıdaki kararlı sürümü uygulayabiliriz:



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-23-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-23-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-23-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a></div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-23-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    log_P_xy = np.log(P_xy)
    log_P_xy_neg = np.log(1 - P_xy)
    log_P_y = np.log(P_y)
    
    def bayes_pred_stable(x):
        x = np.expand_dims(x, axis=0)  # (28, 28) -> (1, 28, 28)
        p_xy = log_P_xy * x + log_P_xy_neg * (1 - x)
        p_xy = p_xy.reshape(10, -1).sum(axis=1)  # p(x|y)
        return p_xy + log_P_y
    
    py = bayes_pred_stable(image)
    py




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    array([-269.0042 , -301.73447, -245.21458, -218.8941 , -193.46907,
           -206.10315, -292.54315, -114.62834, -220.35619, -163.18881])





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-23-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    log_P_xy = torch.log(P_xy)
    log_P_xy_neg = torch.log(1 - P_xy)
    log_P_y = torch.log(P_y)
    
    def bayes_pred_stable(x):
        x = x.unsqueeze(0)  # (28, 28) -> (1, 28, 28)
        p_xy = log_P_xy * x + log_P_xy_neg * (1 - x)
        p_xy = p_xy.reshape(10, -1).sum(axis=1)  # p(x|y)
        return p_xy + log_P_y
    
    py = bayes_pred_stable(image)
    py




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    tensor([-269.0042, -301.7345, -245.2146, -218.8941, -193.4691, -206.1031,
            -292.5432, -114.6283, -220.3562, -163.1888])





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-23-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    log_P_xy = tf.math.log(P_xy)
    log_P_xy_neg = tf.math.log(1 - P_xy)
    log_P_y = tf.math.log(P_y)
    
    def bayes_pred_stable(x):
        x = tf.expand_dims(x, axis=0)  # (28, 28) -> (1, 28, 28)
        p_xy = log_P_xy * x + log_P_xy_neg * (1 - x)
        p_xy = tf.math.reduce_sum(tf.reshape(p_xy, (10, -1)), axis=1)  # p(x|y)
        return p_xy + log_P_y
    
    py = bayes_pred_stable(image)
    py




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    <tf.Tensor: shape=(10,), dtype=float32, numpy=
    array([-266.66373, -320.79816, -261.50876, -202.63194, -295.5783 ,
           -199.49413, -318.6671 , -266.0148 , -224.60349, -271.93506],
          dtype=float32)>





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     </div>

Şimdi tahminin doğru olup olmadığını kontrol edebiliriz.



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-25-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-25-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-25-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a></div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-25-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    # Karşılaştırma için int32 dtype skaler tensörü olan etiketi
    # Python skaler tamsayısına dönüştürün
    py.argmax(axis=0) == int(label)




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    array(True)





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-25-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    py.argmax(dim=0) == label




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    tensor(True)





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-25-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    tf.argmax(py, axis=0, output_type = tf.int32) == label




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    <tf.Tensor: shape=(), dtype=bool, numpy=True>





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     </div>

Şimdi birkaç geçerleme örneği tahmin edersek, Bayes sınıflandırıcısının
oldukça iyi çalıştığını görebiliriz.



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-27-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-27-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-27-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a></div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-27-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    def predict(X):
        return [bayes_pred_stable(x).argmax(axis=0).astype(np.int32) for x in X]
    
    X, y = mnist_test[:18]
    preds = predict(X)
    d2l.show_images(X, 2, 9, titles=[str(d) for d in preds]);



.. figure:: output_naive-bayes_6e475d_159_0.svg




.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-27-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    def predict(X):
        return [bayes_pred_stable(x).argmax(dim=0).type(torch.int32).item()
                for x in X]
    
    X = torch.stack([mnist_test[i][0] for i in range(18)], dim=0)
    y = torch.tensor([mnist_test[i][1] for i in range(18)])
    preds = predict(X)
    d2l.show_images(X, 2, 9, titles=[str(d) for d in preds]);



.. figure:: output_naive-bayes_6e475d_162_0.svg




.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-27-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    def predict(X):
        return [tf.argmax(
            bayes_pred_stable(x), axis=0, output_type = tf.int32).numpy()
                for x in X]
    
    X = tf.stack([train_images[i] for i in range(10, 38)], axis=0)
    y = tf.constant([train_labels[i].numpy() for i in range(10, 38)])
    preds = predict(X)
    d2l.show_images(X, 2, 9, titles=[str(d) for d in preds]);



.. figure:: output_naive-bayes_6e475d_165_0.svg




.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     </div>

Son olarak, sınıflandırıcının genel doğruluğunu hesaplayalım.



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar code"><a href="#mxnet-29-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-29-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-29-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a></div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-29-0">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    X, y = mnist_test[:]
    preds = np.array(predict(X), dtype=np.int32)
    float((preds == y).sum()) / len(y)  # Validation accuracy




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    0.8426





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-29-1">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    X = torch.stack([mnist_test[i][0] for i in range(len(mnist_test))], dim=0)
    y = torch.tensor([mnist_test[i][1] for i in range(len(mnist_test))])
    preds = torch.tensor(predict(X), dtype=torch.int32)
    float((preds == y).sum()) / len(y)  # Validation accuracy




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    0.8426





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-29-2">

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    X = test_images
    y = test_labels
    preds = tf.constant(predict(X), dtype=tf.int32)
    # Validation accuracy
    tf.reduce_sum(tf.cast(preds == y, tf.float32)).numpy() / len(y)




.. raw:: latex

   \diilbookstyleoutputcell

.. parsed-literal::
    :class: output

    0.8426





.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     </div>

Modern derin ağlar :math:`0.01`'den daha düşük hata oranlarına ulaşır.
Nispeten düşük performans, modelimizde yaptığımız yanlış istatistiksel
varsayımlardan kaynaklanmaktadır: Her pikselin yalnızca etikete bağlı
olarak *bağımsızca* oluşturulduğunu varsaydık. İnsanların rakamları
böyle yazmadığı açıktır ve bu yanlış varsayım, aşırı naif (Bayes)
sınıflandırıcımızın çökmesine yol açtı.

Özet
----

-  Bayes kuralı kullanılarak, gözlenen tüm özniteliklerin bağımsız
   olduğu varsayılarak bir sınıflandırıcı yapılabilir.
-  Bu sınıflandırıcı, etiket ve piksel değerlerinin kombinasyonlarının
   olma sayısını sayarak bir veri kümesi üzerinde eğitilebilir.
-  Bu sınıflandırıcı, istenmeyen elektronik posta (spam) tespiti gibi
   görevler için onlarca yıldır altın standarttı.

Alıştırmalar
------------

1. :math:`[[0,0], [0,1], [1,0], [1,1]]` veri kümesini iki öğenin XOR
   tarafından verilen etiketleri ile, :math:`[0,1,1,0]`, düşünün. Bu
   veri kümesine dayanan bir naif Bayes sınıflandırıcısının olasılıkları
   nelerdir? Noktalarımızı başarıyla sınıflandırıyor mu? Değilse, hangi
   varsayımlar ihlal edilir?
2. Olasılıkları tahmin ederken Laplace düzleştirmeyi kullanmadığımızı ve
   eğitimde asla gözlenmeyen bir değer içeren bir veri örneğinin test
   zamanında geldiğini varsayalım. Model ne çıkarır?
3. Naif Bayes sınıflandırıcısı, rastgele değişkenlerin bağımlılığının
   bir grafik yapısıyla kodlandığı belirli bir Bayes ağı örneğidir. Tam
   teorisi bu bölümün kapsamı dışında olsa da (tüm ayrıntılar için
   :cite:`Koller.Friedman.2009` çalışmasına bakınız), XOR modelinde
   iki girdi değişkeni arasında açık bağımlılığa izin vermenin neden
   başarılı bir sınıflandırıcı oluşturmaya izin verdiğini açıklayıniz.



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs mdl-js-tabs mdl-js-ripple-effect"><div class="mdl-tabs__tab-bar text"><a href="#mxnet-31-0" onclick="tagClick('mxnet'); return false;" class="mdl-tabs__tab is-active">mxnet</a><a href="#pytorch-31-1" onclick="tagClick('pytorch'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">pytorch</a><a href="#tensorflow-31-2" onclick="tagClick('tensorflow'); return false;" class="mdl-tabs__tab ">tensorflow</a></div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel is-active" id="mxnet-31-0">

`Tartışmalar <https://discuss.d2l.ai/t/418>`__



.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="pytorch-31-1">

`Tartışmalar <https://discuss.d2l.ai/t/1100>`__



.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     <div class="mdl-tabs__panel " id="tensorflow-31-2">

`Tartışmalar <https://discuss.d2l.ai/t/1101>`__



.. raw:: html

     </div>



.. raw:: html

     </div>